Re: [閒聊] 數學女孩龐加萊猜想

看板C_Chat (希洽)作者cmrafsts (喵喵)時間6年前 (2019/05/16 00:01)推噓6(6推 0噓 12→)

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※ 引述《dodomilk (豆豆奶)》之銘言： : （雙曲面大概長這樣 https://imgur.com/jXA9clw.jpg

） : 這代表，我們可以把歐幾里得平面（也就是一般的平面）看成半徑無限大的球面， : 而雙曲面則是半徑為虛數的球面。 : 推論過程請再回去參考那篇文章，或者直接買下這本數學女孩：龐加萊猜想來看吧！ : 當然，這推論有87%是牽強附會，請不要拿去和數學背景的人講，會被電很慘XDDD 不知道為什麼你要這樣堅持0.0雙曲面又沒有constant Gaussian curvature : 由維基，龐加萊猜想是：任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。 : 稍微試著解釋看看好了。 : 首先是流形。一條線段就是一維流形，可以是直的、是彎的。 : 前面提到的球面、雙曲面、歐幾里得平面就是二維流形。 : 三維流形比較難理解， : 它是三維的，卻又不囿限於三維空間中，而是可以鑲嵌於四維空間。 : 如果說二維球面（二維流形）是由許多一維球面（圓，一維流形） : 由小到大、再由大到小彼此連接而成的話， : 那麼三維球面（三維流形），就是由許多二維球面（二維流形） : 由小到大、再由大到小彼此連接而成。書裡面這樣寫喔0.0 其實講locally Euclidean就好了。其他的category裡的對應物件也是這樣想的 : 注意，這和實心球是不同的概念。 : 因為三維球面必須鑲嵌在四維歐幾里得空間中， : 而實心球可以直接放在三維歐幾里得空間中。 : 同胚。用比較概念性的方式說明的話，就是兩個流形可以在不切斷、不接起的情況下， : 連續變形成另外一種。 : 常見的例子是甜甜圈的表面和馬克杯的表面，這兩種封閉二維流形同胚。 : 就可定向的封閉二維流形而言，可以用「有幾個洞」來判斷他們是否同胚。 : 譬如球面的洞數是零、甜甜圈和馬克杯的表面洞數為一、 : 把兩個甜甜圈接在一起成8字形，洞數為二，依此類推。這裡的洞數又稱做「虧格」剛好這些是可以放進R^3的，可以這樣看。一般的定義就走到了簡單的代數拓墣 : 而所謂的「可定向」，在二維流形的情況中，是指能不能分辨出正面和反面。 : 甜甜圈和馬克杯的表面皆可分辨出正面和反面， : 而著名的克萊因瓶（亦譯做克萊因壺），則為不可定向的二維流形。 : 順帶一提，莫比烏斯環，也是不可定向的二維流形（但它不是封閉流形）。 : 至於「單連通」，簡單來說，在二維流形的情況中， : 就是當你把一條橡皮筋放在這個二維流形上時， : 不管你怎麼放這條橡皮筋，它都有辦法縮成一個點。 : 顯然，甜甜圈的表面就不是一個單連通的二維流形。 : 因為如果我們把橡皮筋套住甜甜圈中間的洞的話， : 橡皮筋就沒辦法在甜甜圈表面上縮成一個點。阿你沒講到什麼是封閉，不過我也是翻維基才知道的封閉是compact without boundary 額 without boundary是說locally R^n, boundary是locally有半R^(n-1) compact好難正常的解釋0.0 某個等價條件是可以嵌進高維球面 : 讓我們再回過頭來看龐加萊猜想的內容， : 任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。 : 也就是說，如果你把一條橡皮筋放在一個封閉的三維流形上， : 而不管你怎麼放，這條橡皮筋都可以收縮成一個點的話， : 這個封閉的三維流形就會與三維球面同胚。 : 然而，三維流形這種東西實在太過抽象，所以我們必須引入「拓樸」的概念來說明。用Whitney embedding，把它想成在高維空間中locally是一組好的smooth function定義出的解集就不抽象了(?然而對解決這個問題應該並無卵用 : 至於封面，我是覺得原日版封面就很不錯了。 : 世茂版的封面也還可以接受啦～～ : 就台灣的市場而言，這樣的封面應該比較能觸及更多族群。 : 不過像青文的第一集封面就...我覺得會自我限制讀者群... 某個我認識的北一女中數學老師很喜歡這套書，還會在FB上傳教但我不知道是哪個封面版本 -- 有時數學真的很難。拿來跟人聊天，你講maximum principle只會被別人覺得噁心。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.150.108.23 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1557936098.A.AA8.html

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dodomilk

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05/16 00:04, 6年前 , 2^F

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dodomilk

05/16 00:07, 6年前 , 3^F

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