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Re: [蔚藍] 伊吹：老師你看 考了100分

看板C_Chat (希洽)作者 (悟)時間8月前 (2025/04/19 07:36), 8月前編輯推噓30(31推 1噓 11→)
留言43則, 36人參與, 7月前最新討論串2/2 (看更多)
※ 引述《dahos (dahos)》之銘言： : https://x.com/lam/status/1911615402217553983 : https://pbs.twimg.com/media/Godro06WUAAFqJ5.jpg
: 題目 : 請計算 : https://i.imgur.com/4G1FQwj.jpeg
: 算式 : https://i.imgur.com/G4namvH.jpeg
: 推特上有其他人驗算是對的 : https://x.com/XGn7ogANxW41985/status/1911769614817833185 : https://pbs.twimg.com/media/Gof4U0wWAAAjdHv.jpg
: https://x.com/tatikaze_miyako/status/1909872250817593810 : https://pbs.twimg.com/media/GoE6sL_aUAAplj9.jpg
: --------------------- : https://i.imgur.com/mg1Ym9A.gif
大家一起來跟著好孩子伊吹學數學吧！ 首先，要知道，「所有有理函數都有反導函數」！（總之就是可以不定積分） 有理函數包含所有可以表示為兩個多項式相除的函數，例如x/(x-1)包含在內。 所以本題中的1/(1+x^4)當然也有反導函數，這麼說來不就很簡單了嘛！ 所以方法一：找優香幫忙因式分解。 1/(1+x^4) = i/2 * [ 1/(x^2 +i) - 1/(x^2 -i) ] 我甚至還沒有因式分解到最後一步，這條路線顯然不可行。 順帶一提做到底的結果將會需要處理類似ln(i)這種看到就會頭痛的數字。 ...雖然，其實也不是不能做啦，將i用棣美弗定理表示為e^(i*pi/2)， 取自然對數便會得到i*pi/2的結果就是了 方法一徹底失敗，U卡媽媽可以先回去了，你說什麼？抱歉那隻蘿莉是萬魔殿團寵， 請不要對她動歪腦筋。 方法二：冪級數 眾所皆知的，1+1/2+1/4+... = 1 / (1- 1/2)， 那麼我們能不能把這個操作反過來做？ 當然可以，於是我們就有：1 / (1 - x ) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... 同樣的道理套用到原題目，就得到 1 / [ 1 - (- x^4) ] = 1 - x^4 + x^8 - x^12 + .... 這東西當然是可以積分的！ 對其積分得到 x - x^5 / 5 + x^9 / 9 - x^13 / 13 +... 所以這是啥？ ......呃，方法二失敗！ 事實上你去找積分表也會發現積分表沒有寫到這邊，光是使用初等微積分與工程數學 的內容根本無法解決這道題目，這樣大家對於十一歲的伊吹有沒有肅然起敬了呢？ 那怎麼做？俗話說的好，平面上的問題無法解決時，有時候在三維空間就能秒殺。 而這題也類似的，當我們要對整條x軸做積分，不如我們將範圍擴張一下吧？ 這裡的擴張並不單純只是向y軸擴張，我們是要對虛軸擴張。 https://imgur.com/SRtdfmF
想像這樣一個虛數平面上的半圓形，沿著半圓形逆時針走，會得到什麼呢？ 你會得到一個是0但是又不是0的東西。 工三小？？ 事情是這樣的，封閉路徑上的積分應該要是0才對（柯西積分定理）， 但是如果這個曲線包住了一些討厭的東西，那就會導致不好的後果， 我們得把這些壞胚子吊起來，就如同我們對待那些殘黨。 沒錯，這就是複變函數論中所說的留數定理，又稱殘數定理。 那又跟我們的原題目有啥關聯？ 回想一下剛才那個半圓形，如果我們把半徑推到無窮大， 那麼底下的直線部分就是我們想要的積分範圍。 上半圓呢，也不用擔心，反正半徑無限大的時候他會是0的。 所以簡單來說是這樣的： 沿著整個半圓積分 = 殘黨 || 沿著半圓積分 + 沿著直徑積分 ||（半徑推到無窮之後） 0 + 我們想算的東西 所以原題目就是那些殘黨！ 首先我們得找出那些殘黨，殘黨就是一群會讓分母為0的兔崽子， 好消息是，這些殘黨剛好在我們的方法一算過了，感謝U卡媽媽！ 他們剛好是e^(i k pi/4)，k = 1, 3, 5, or 7 完美，只有兩個位於我們想積分的範圍內，所以最後就知道你想算的東西可以表達為 那兩點的留數， pi/2i * [ e^(i pi/4) + e^(3i pi/4)] = pi/2i * [i sqrt2] = pi / sqrt2 真是令人讚嘆不已！All Hail Ibuki! All Hail IBUKI! -- 以雙眼親睹靈魂的奧秘 以雙手掌握生命的法則 人類不應觸及，僅屬於神祇的禁忌之天頂…不曾存在！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.161.100.145 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1745019401.A.3D7.html
推
04/19 08:06, 8月前 , 1F
雖然個人數學不好不太懂，但是行文很有趣，推推
04/19 08:06, 1F
推
04/19 08:07, 8月前 , 2F
恩恩 還是來吃布丁
04/19 08:07, 2F
推
04/19 08:17, 8月前 , 3F
推
04/19 08:17, 3F
推
04/19 08:19, 8月前 , 4F
嗯嗯 跟我想的一樣
04/19 08:19, 4F
推
04/19 08:23, 8月前 , 5F
謝謝伊吹 我會了
04/19 08:23, 5F
※ 編輯: nahsnib (114.137.151.56 臺灣), 04/19/2025 08:25:08
推
04/19 08:30, 8月前 , 6F
對對 跟我想的一模一樣
04/19 08:30, 6F
推
04/19 08:43, 8月前 , 7F
謝謝你一大早就讓我覺得自己蠢的跟小春一樣
04/19 08:43, 7F
沒關係，我們也跟小春一樣色，所以大家都是小春！
推
04/19 08:44, 8月前 , 8F
我是誰？我在哪？我在做什麼？
04/19 08:44, 8F
推
04/19 08:45, 8月前 , 9F
數學小老師
04/19 08:45, 9F
推
04/19 08:48, 8月前 , 10F
已經完全看不懂了...
04/19 08:48, 10F
→
04/19 08:54, 8月前 , 11F
你竟然想試圖教會我?
04/19 08:54, 11F
大家一起跟伊吹一起預習複習吧
推
04/19 08:54, 8月前 , 12F
對的 就是這樣，跟我算的一樣
04/19 08:54, 12F
推
04/19 09:01, 8月前 , 13F
於是你告訴我我的微積分基本上已經還給老師了.......
04/19 09:01, 13F
教育現場常有的一句話：你要還給老師，那你要先從老師那裏得到過啊
推
04/19 09:02, 8月前 , 14F
伊吹妳複變有點猛阿...只記得和柯西主值有關，而且積分
04/19 09:02, 14F
→
04/19 09:02, 8月前 , 15F
好像要上半平面有限個poles還啥的，超級妙的
04/19 09:02, 15F
複變真美好，實變狗屎
推
04/19 09:03, 8月前 , 16F
.….？
04/19 09:03, 16F
推
04/19 09:03, 8月前 , 17F
好強，但看完突然睡意，襲來！
04/19 09:03, 17F
不瞞你說我也是邊打邊睡
推
04/19 09:08, 8月前 , 18F
跟我想的一樣
04/19 09:08, 18F
※ 編輯: nahsnib (1.161.100.145 臺灣), 04/19/2025 09:17:16
推
04/19 09:15, 8月前 , 19F
懂了 其實我根本就是小春 身上已經長蝦線出來了
04/19 09:15, 19F
→
04/19 09:22, 8月前 , 20F
整篇全是中文 聚在一起就..
04/19 09:22, 20F
→
04/19 09:34, 8月前 , 21F
對對 我也是這樣想的
04/19 09:34, 21F
推
04/19 09:47, 8月前 , 22F
老師老師，我有問題，上面日本推特網友的計算，到偶函
04/19 09:47, 22F
→
04/19 09:47, 8月前 , 23F
數拆兩半都看得懂
04/19 09:47, 23F
→
04/19 09:47, 8月前 , 24F
但是那個積分結果怎麼來的
04/19 09:47, 24F
他開了緋紅之王，繞過所有留數定理的過程，只保留結論的算式！ 對基本上就是他的積分表比較大一張啦
推
04/19 09:51, 8月前 , 25F
整篇看完我只懂一句話All Hail Ibuki! All Hail IBUKI!
04/19 09:51, 25F
※ 編輯: nahsnib (1.161.100.145 臺灣), 04/19/2025 09:58:35
推
04/19 10:03, 8月前 , 26F
請數學O放過西洽（x
04/19 10:03, 26F
推
04/19 10:05, 8月前 , 27F
了解了
04/19 10:05, 27F
噓
04/19 10:06, 8月前 , 28F
ID錯誤
04/19 10:06, 28F
→
04/19 10:07, 8月前 , 29F
我來C恰不是看這個的==
04/19 10:07, 29F
推
04/19 10:11, 8月前 , 30F
數學老師
04/19 10:11, 30F
推
04/19 10:13, 8月前 , 31F
好歹當年微積分學分有拿到, 所以算曾經得到過吧(逃)
04/19 10:13, 31F
推
04/19 10:42, 8月前 , 32F
跟我想的一樣
04/19 10:42, 32F
→
04/19 10:44, 8月前 , 33F
(′・ω・‵) 這裡不是數學版==
04/19 10:44, 33F
推
04/19 10:54, 8月前 , 34F
嗯跟我算得一樣（完全沒懂
04/19 10:54, 34F
推
04/19 11:17, 8月前 , 35F
留數定理的知識早就消失不見了
04/19 11:17, 35F
推
04/19 11:26, 8月前 , 36F
懂了 是那個修完在腦袋沒留下任何東西的複變
04/19 11:26, 36F
推
04/19 12:16, 8月前 , 37F
伊吹留下來給我家教一下好不好
04/19 12:16, 37F
→
04/19 14:31, 8月前 , 38F
我還是左轉去看瑟圖就好
04/19 14:31, 38F
推
04/19 16:50, 8月前 , 39F
以這個課程來說這題算基本題，伊吹有學的話會解不奇怪
04/19 16:50, 39F
→
04/19 16:50, 8月前 , 40F
不過我很肯定我沒有學，資訊工程系必修沒有這個
04/19 16:50, 40F
推
04/19 18:05, 8月前 , 41F
資工有基礎微積分+離散+線代+機率統計就夠了 工數不是
04/19 18:05, 41F
→
04/19 18:05, 8月前 , 42F
必修 雖然我校是必修
04/19 18:05, 42F
推
04/20 01:16, 7月前 , 43F
推
04/20 01:16, 43F
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