[討論] 看動畫學數學關於本季最好看的數學番-費

看板C_Chat (希洽)作者zax8419 (小火馬)時間1小時前 (2025/09/20 23:22)推噓9(9推 0噓 5→)

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這季的25夏番有部與數學極其相關一部番實在深得我心甚至到了把原作補了的程度(目前看到第三卷) 這部番不停的強調數學的重要以及從數字的角度去思考推理進而實用同時故事緊張刺激畫面也好看且剛好題材又很對我的胃口那這部番就是費式數列的愛好者--沉默魔女的秘密!!!! 費氏數列出自義大利的數學家費波那契而這個也應該是絕大多數人在高中一年級上"數列與級數"這個章節都會聽過的數列先抓定兩個基礎值大多都是 a_1 = 1 a_2 = 1 接著再定義 a_n = a_(n-1) + a_(n-2) (n>2) 清楚來說就是 a_1 = 1 a_2 = 1 a_3 = 2 a_4 = 3 a_5 = 5 a_6 = 8 a_7 = 13 a_8 = 21 ..... 如此以此類推在大家的高中時期多數教材都會以此作為"遞迴關係式"的特別範例藉此來提到 a_1 = 1 a_n = a_(n-1) + 2n + 1 接著觀察數列 1.算出前幾項 a_2 , a_3 , a_4 2."猜測"一般項 a_n = ? 最後再 3.透過"數學歸納法"去證明剛剛所猜測的一般項為真來達成關於數學歸納法一整個教學內容的進行不過教學過程中作為引路的費氏數列通常也就止步於此並不會有太深的著墨然而在"沉默魔女的秘密"中從費式數列衍伸而出"山姆大叔的豬之歌" https://www.youtube.com/watch?v=4QH27oYA6IA

(這也是寫這篇文的BGM) 之所以被莫莫莫莫妮卡稱為"很美麗的數列之歌"也是其來有自 https://imgur.com/ziYj9Cx.jpg

歌詞如下 1年目の冬 1匹売られ 2年目の冬 1匹売られ 3年目の冬 2匹売られ 4年目の冬 3匹売られ 5年目の冬 5匹売られたガラガラガラガラ車輪の音にブーブーブーブーブタが鳴く 6年目が 8匹ならば 10年目の冬売られたブタはさて何匹「ご～じゅごひき～(￣▽￣)」第一年的冬天賣了一頭豬第二年的冬天賣了一頭豬第三年的冬天賣了兩頭豬第四年的冬天賣了三頭豬第五年的冬天賣了五頭豬其數字正好對應到的就是費式數列的規律不過其實呢用"賣豬"不是一個好的形容方式不如用"有幾對豬"或許更能激起想像先設立前提每對幼豬一年後會長成成豬而每對成豬每年都會產下一對幼豬且豬豬不死這麼一來假設山姆大叔在第一年擁有一對幼豬共一對豬第二年擁有一對成豬共一對豬第三年擁有一對成豬與一對剛誕生的幼豬共兩對豬第四年擁有兩對成豬與一對剛誕生的幼豬共三對豬第五年擁有三對成豬與兩對剛誕生的幼豬共五對豬第六年擁有五對成豬與三對剛誕生的幼豬共八對豬 .....以此類推這樣或許更能對豬豬的增加有明確的想像 (當然只要稍加了解的人都會知道這是最早描述兔子生長數目的方式) 然而這個數列更美妙的地方在於越往後延伸兩個數字間的前後項比值會越來越趨近於黃金比例意即 1+√5 φ= ------ =1.618033.... 2 要用複雜的證明當然也行不過其實也可以用圖形來表示 https://imgur.com/hGLsImv.jpg

當數字越來越大此圖形會逐漸延伸到更趨於"完美的長方形" 若將該圖形的各個交點依次平滑的連接起來最終可得到自然界中美妙的螺線 https://imgur.com/oUDtlOL.jpg

而費式數列的精妙也不止於此高中生最厭惡的單元問10個人可能有11會回答是排列組合 (我是第12個人) 其中在排列組合中提到二項式定理時必然會提到的"巴斯卡三角形"其實也藏有費式數列若將巴斯卡三角形展開來寫沿著固定的斜率可以切出數條數字其每一條的數字總和依序排列很巧合的也正好就是費式數列如下圖所示 https://imgur.com/IJVd6u7.jpg

所以費式數列真的會神奇的出現在各種地方呢另外稍加延伸也可以提到費式數列的一般式先定義a_1 = 1 , a_2 = 1 1 1+√5 1-√5 則a_n = --- x [(-------)^n - (-------)^n] √5 2 2 若仔細觀察亦可發現當中也蘊含黃金比例的因子真不饋為莫莫莫莫妮卡相當喜愛的數列阿!! 最後撇除掉一堆複雜的計算與理論單純找規律也可以從中找到一些簡單的性質喔!! 像是數列必定是奇奇偶奇奇偶奇奇偶這樣的規律運作或是a_1 + a_2 + a_3 + ...+ a_n = a_(n+2) -1 這樣神奇的規律實在是相當有趣且美麗呢當然若提到相關延伸的數論與變化會有數不清的內容可以討論但就明顯超出科普的範圍了沒想到吧山姆大叔的豬其實蘊含著這麼深的哲理呢莫妮卡真有眼光!! 沉默魔女好看!! -- https://imgur.com/r8P0qbu.jpg

你跟我說這個我有什麼辦法 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.170.137.39 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1758381733.A.324.html

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