Re: [閒聊] 莉央與優香討論數學
※ 引述《nahsnib (悟)》之銘言：
: 1.這個包了三層參數式U點，他的參數式是什麼？
: 2.U點形成的軌跡與線段AD所夾之面積為？（基本上就是跟x軸所夾面積）
: 3.0~a秒內，U點掃過的軌跡長度為？
: OK所以這個題目顯然的有必要把參數式搞定，但反過來說把參數式搞定剩下兩個也不難。
: P(0,t)，Q(t,1)，R(1, 1-t)，
: S(t^2, 2t-t^2), T(2t-t^2, 1-t^2)
: U(3t^2-t^3, 3t-3t^2)
: 最後一題，曲線長度，翻出微積分公式，兩分鐘便可搞定
: L(t) = int_0^a sqrt( x'(t)^2 + y'(t)^2 ) dt
: = int_0^a sqrt(9-36t+72t^2-72t^3+36t^4) dt （這裡要用點通靈才能搞定這個根號）
: = int_0^a 3( 2t^2 - 2t + 1 ) dt
: = 2a^3 - 3a^2 + 3a
: 那麼，問題來了，雖然能解這個問題，但有沒有更好的解法？
: 畢竟在第三題中那個結果竟然能神奇的配方？巧合嗎？我不這麼認為。
: 但暫時我也沒想到更好的解法，因此先保留。
這問題還真是越看越不對勁
Ut = ( t^2*(3-2t), 3(1-t)t )
X(t) = t^2*(3-2t)
Y(t) = 3(1-t)t
X'(t) = 6t(1-t)
Y'(t) = 3(1-2t)
X'(t)^2 + Y'(t)^2 = 36t^2*(t-1)^2 + 9(2t-1)^2
= 9(2t^t-2t+1)^2 (到底!?)
這個配方並不具一般性，
如果今天把正方形ABCD橫向拉長1倍，
也就是 D 變成 (2,0), C變成(2,1)，這個配方的結果就不會出現了
將原圖裡面 Ut 的軌跡 (0<=t<=1) 畫出來，也看不太出個所以然
https://i.imgur.com/pS6v58G.jpg
原出處：https://www.pixiv.net/en/artworks/98098481
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