Re: [問題] 我想問問數學的得噁塔function

看板Hunter作者llrabel (自立自強)時間16年前 (2009/11/04 18:06)推噓2(2推 0噓 3→)

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※ 引述《nosap (Chi)》之銘言： : 最近一直被δ(x)的東西困擾... : ∫f(x)δ(x)dx =1....||| ^^ f(0) : @_ @a?? : 不知道這到底在幹嘛 : 看到版上很多數學強者斗膽來問一下 : 得噁塔的性質數學或物理意義 : 還有相關的概念跟積分如果你不是數學系的你只要知道怎麼用δ(x)就好了基本上δ(x)對於數學系之外的人是如下定義： (1) δ(x) = 0 對任意 x≠0 δ(0) = +∞ (2) ∫δ(x)dx = 1 也就是說，δ在 0 之外全為 0，但在 0 那點取值大到使得它的積分為1 你可以這樣想如果一個函數 h(x)≧0 表示某種物質在數線上的質量分佈則 ∫h(x)dx = 1 就表示總質量為 1 這樣，δ(x) 所代表的質量分佈就是把總質量為1的物質全都聚在 0 那點如果想成是電荷分佈那 δ(x) 就表示在 0 點有一個點電荷，且其電量為 1 你也可以把滿足∫h = 1 的函數 h 視為某種加權方式而 ∫f(x)h(x)dx 就是 f 在這種加權方式之下的和如此，按照δ(x)的定義，它也提供了一種加權方式但是他所有的加權比重都在 0 那一點這樣，∫f(x)δ(x)dx = f(0) 是唯一合理的推論總之，對於不斤斤計較的人來說，上面直覺式的了解就ok了但是對數學家來說，上面(1)與(2)對δ的定義基本上是互相矛盾的以分析學的角度來說(可參閱任意一本實分析的書) 定義(1)這樣的函數是可以的但是即使其在 0 取值為無窮大，積分仍然應該是 0 也就是說，滿足(1)的函數是沒辦法滿足(2)的這裡所說的積分是指 Lebesgue 積分不知道的人可以想成是 Riemann 積分的一種很自然的推廣就是了這個積分是有很明確的定義的或許有一個辦法是，創立另外一種積分的理論使得在這理論之下 (1),(2) 是可以同時滿足的我不知道這是不是有可能的但是事實是 Lebesgue 積分理論真的是很自然且完善的一個理論所以儘管在這個理論裡 (1) 與 (2) 互相矛盾應該沒有數學家打算特別為 δ 函數創立一個新的積分理論另外，如果δ函數真的如同上面那樣定義，那我們就可以合理的問一些問題而這些問題也會直接得到矛盾比如說 δ 的平方是什麼？按照(1)，δ的平方應該還是δ本身因為無窮大應該只有一個，不管是∞還是∞^2，都是∞ (事實上，無窮大只有一個也可以視為一個規定，或許真的也可以弄一個理論出來，在這理論中，我們可以有好幾種不同大小的無窮大，但總之也沒有人真的去搞這樣怪怪的理論出來) 所以 ∫δ^2 = ∫δ = 1 但是依照(2)的規定，∫δ^2 = ∫δ(x)δ(x)dx = δ(0) = ∞ 這樣就出現了一個矛盾。想知道數學家最後是怎麼解釋δ嗎？那就請自己慢慢看 wiki http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function 因為我累了 XD -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.50.195