Re: [閒聊] 遊戲王三門問題　換，還是不換？

看板C_Chat (希洽)作者arrenwu (最是清楚哇她咩)時間3月前 (2025/02/18 16:27)推噓5(5推 0噓 20→)

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※ 引述《comp2468 (ilikemiku)》之銘言： : : 放屁！ : : 我在信心滿滿地扯一堆「解釋」， : : 是因為我已經算過三門問題的機率事件結果了 : : 因為有數學理論作後盾，所以我在這邊嘴砲的信心爆棚 : : 就算不是三門這種經典問題， : : 機率習題裡面，這類"啟發式的思考"，其實是非常容易出錯。 : : 這是為什麼處理機率問題一定要從定義機率事件開始。 : : 我的建議是：不用特別去找尋什麼簡單的解釋，學習數學吧 :D : 欸不是 : 沒那麼複雜吧？你現在看討論串有沒有覺得比想像中複雜很多？這是因為自然語言在描述量化問題上非常地難用你講你的感覺，我講我的看法，然後很難講出個所以然如果用數學語言，問題就變得非常單純了定義三個隨機變數 T, C, O T (Trophy): 獎品位置 C (Choice): 人的選擇 O (Opened Door): 被打開的門的位置 T, C, O 的數值可以是 1,2,3 其中一個考慮一個具體的問題：獎品出現的位置可能是 1,2,3 ，機率相等。你選了第一個門，現在主持人打開了第二個門。如果你不換門，中獎機率多少？上面這個問題寫成機率的形式就是 P( T=C | C=1, O=2) (我把對應的機率事件標上對應的顏色) P( T=C | C=1, O=2) = P( T=1 | C=1, O=2) P( T=1, O=2 | C=1) = ------------------ P( O=2 | C=1) P( T=1, O=2 | C=1) = ------------------------------------------------------------- P( T=1, O=2 | C=1) + P( T=2, O=2 | C=1) + P( T=3, O=2 | C=1) 1. 首先 P( T=2, O=2 | C=1) = 0 因為主持人不可能在獎品位置是2的時候打開2號位置 P( T=1, O=2 | C=1) 所以 P( T=C | C=1, O=2) = ------------------------------------------ P( T=1, O=2 | C=1) + P( T=3, O=2 | C=1) 這條件機率剩下的就是 P( T=1, O=2 | C=1) vs P( T=3, O=2 | C=1) 2. 再看 P( T=1, O=2 | C=1) P( T=1, O=2 | C=1) = P( O=2 | T=1 C=1) P( T=1 | C=1) = P( O=2 | T=1 C=1) * 1/3 P( T=1 | C=1) = 1/3 是因為獎品位置在哪裡跟你選哪扇門是獨立事件。 3.那麼 P( T=3, O=2 | C=1) = P( O=2 | T=3 C=1) * 1/3 = 1 * 1/3 這邊趣味的是， P( O=2 | T=3 C=1) 一定是 1，因為你選1號門，獎品在3號門的時候，主持人只能開2號門 P( O=2 | T=1 C=1) 故 P( T=C | C=1, O=2) = -------------------------------- <= 1/2 1 + P( O=2 | T=1 C=1) 所以不管主持人開門的策略長啥樣，你不換門的話，取得獎品的機會最多就是 1/2 (一半) 這從上面的式子可以看得出是因為 1 = P( O=2 | T=3 C=1) >= P( O=2 | T=1 C=1) 也就是「如果獎品在3號門，那主持人一定開2號門；反而獎品如果在1號門的話，還不一定就開2號門，所以2號門被打開暗示著3號門的機會比較大」我都沒有用什麼巧思喔，就很平鋪直述地寫出來但整個立論就跟角卷綿芽一樣地清楚對吧？ https://x.com/fuumiisc/status/1890356321074950189/photo/1 https://pbs.twimg.com/media/GjvkkR9a0AA6n6k.jpg